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Wendepunkt (Sattelpunkt)

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Gesucht sind die Wendepunkte von folgenden Funktionen

 

1.

f(x)=

x+1

x-1

 

2.

f(x)=

2x²+3x-4

x²

3.

f(x)=

x³-2x²+x

 

4.

f(x)=

x²+4x+4

x+2

 

Um die Wendepunkte zu bestimmen muss man die zweite Ableitung bilden und danach auf x umstellen. Um eine gebrochenrationale Funktion abzuleiten muss man die Quotientenregel anwenden die wie folgt lautet.

 

 

f(x)=

u

 

f´(x)=

u´v-v´u

v

 

V²

 

1.

 

 

f´(x)=

-2

x²-2x+1

    u=-2       v=x²-2x+1

    u´=0       v´=2x-2

 

 

f´´(x)=

(0)(x²-2x+1)-(2x-2)(-2)

(x²-2x+1)²

 

    0=4x-4

    x=1

 

Jetzt wird der Wert mit dem Definitionsbereich verglichen. Da 1 im Definitionsbereich ausgeschlossen ist, gibt es keinen Wendepunkt.

 

2.

 

 

f´(x)=

-3x²+8x

(x²)²

    u=-3x²+8x       v=(x²)²

    u´=-6x+8         v´=4x³

 

 

f´´(x)=

(-6x+8)((x²)²)-(4x³)(-3x²+8x) 

((x²)²)²

    0=-6x^5+8(x²)²+12x^5-32(x²)²    (^5 soll hoch 5 heißen)

    0=6x^5-24(x²)²

    0=(x²)²(6x-24)

    x=0

    0=6x-24

    x=4

 

Jetzt werden die Werte mit dem Definitionsbereich verglichen. Da 0 im Definitionsbereich ausgeschlossen ist, ist nur x=4 ein Wendepunkt.

Um die passenden y-Werte auszurechnen setzt man den errechneten Wert in die

Ausgangsgleichung ein.

 

f(x)=

2(4)²+3(4)-4

4²

 

    y=2,5

 

Das heißt das der Wendepunkt die Position x=4 und y=2,5 hat.

 

3.

      f´(x)=3x²-4x+1  

      f´´(x)=6x-4

      0=6x-4

      x=0,666

      y=0,074

 

Das heißt das der Wendepunkt die Position x=0,666 ; y=0,074 hat.

 

4.

 

 

f´(x)=

x²+4x+4

x²+4x+4

     u=x²+4x+4     v=x²+4x+4

     u´=2x+4         v´=2x+4

 

 

f´´(x)=

(2x+4)(x²+4x+4)-(x²+4x+4)(2x+4)

(x²+4x+4)²

     0=0

 

Es gibt keinen Wendepunkt

 

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