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Extremwerte

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Gesucht sind die Extremwerte von folgenden Funktionen

 

1.

f(x)=

x+1

x-1

 

2.

f(x)=

2x²+3x-4

x²

3.

f(x)=

x³-2x²+x

 

4.

f(x)=

x²+4x+4

x+2

 

Um die Extremwerte zu bestimmen muss man die erste Ableitung bilden und danach auf x umstellen. Um eine gebrochenrationale Funktion abzuleiten muss man die Quotientenregel anwenden die wie folgt lautet.

 

 

f(x)=

u

 

f´(x)=

u´v-v´u

v

 

V²

 

1.

    u= x+1       v=x-1

    u´=1           v´=1

 

 

f´(x)=

1(x-1)-1(x+1)

(x-1)²

 

 

f´(x)=

-2

(x-1)²

    0=2

 

Daraus folgt das es keine Extremwerte für diese Funktion gibt.

 

2.

    u= 2x²+3x-4         v=x²

    u´=4x+3    v´=2x

 

 

f´(x)=

(4x+3)(x²)-(2x)(2x²+3x-4)

(x²)²

 

 

f´(x)=

4x³+3x²-4x³-6x²+8x

(x²)²

 

    0=-3x²+8x                             durch -3 teilen

    0=x²-2,666x                          Jetzt pq- Formel anwenden

    x=-(-2,666/2)±√((-2,666/2)²-0)

    x=1,333±√(1,777)

    x=1,333+1,333=2,666

    x=1,333-1,333=0

 

Jetzt werden die Werte mit dem Definitionsbereich verglichen. Da 0 im Definitionsbereich ausgeschlossen ist, ist nur x=2,666 ein Extremwert.

Um die passenden y-Werte auszurechnen setzt man die errechneten Wert in die

Ausgangsgleichung ein.

 

 

f(x)=

2(2,666)²+3(2,666)-4

(2,666)²

    y=2,563

 

Das heißt das der Extremwert die Position x=2,666 und y=2,563 hat

 

3.

    f´(x)=3x²-4x+1                 geteilt durch drei

    0=x²-1,333x+0,333             pq- Formel anwenden

    x=-(-1,333/2)±√((-1,333/2)²-0,333)

    x=0,666±√(0,111)

    x=0,666+0,333=1

    x=0,666-0,333=0,333

 

Jetzt werden die Werte mit dem Definitionsbereich verglichen. Beide Werte sind nicht ausgeschlossen. Das heißt x=1 und x=0,333 sind Extremwerte.

Um die passenden y-Werte auszurechnen setzt man die errechneten Wert in die Ausgangsgleichung ein.

 

    y=0  und  y=0,148

 

Das heißt das die Extremwerte die Positionen x=1; y=0 und x=0,333 ; y=0,148 haben.

 

4.

    u= x²+4x+4          v= x+2

    u´=2x+4                v´=1

 

 

f´(x)=

(2x+4)(x+2)-1(x²+4x+4)

(x+2)²

 

 

f´(x)=

2x²+4x+4x+8-x²-4x-4

(x+2)²

 

    0=x²+4x+4                            Jetzt pq- Formel anwenden                            

    x=-(4/2)±√((4/2)²-4)

    x=-2±√(0)

    x=-2+0=-2

    x=-2-0=-2

 

Jetzt werden die Werte mit dem Definitionsbereich verglichen. Da -2 im Definitionsbereich ausgeschlossen ist, gibt es keinen Extremwert.

 

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